<

p style=”text-align: left;”>

لست أول من فكر بإنتاج الموسيقة من متتالية فيبوناتشي, وبالتأكيد ليست فكرتي الأساسية. ولكن طريقة استخلاصي للموسيقى كانت من بنات أفكاري. سأشرح طريقتي في إنتاج الموسيقى, ولكن في البداية يجب أن أخبركم عن ليوناردو ومتتاليته, وأسسها.

ليوناردو فيبوناتشي

ليوناردو فيبوناتشي بيوللو هو عالم رياضيات إيطالي ولد في بيزا في القرن الثاني عشر الميلادي. ومن ما أشتهر به استيراده للأرقام,المسماة بالأرقام العربية وأيضا بمتتاليته, متتالية فيبوناتشي الشهيرة.

الأرقام العربية: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

المتتالية: ١, ١, ٢, ٣, ٥, ٨, ١١, ٢١, ٣٢, ٥٣, … وهكذا إلى ما لا نهاية

متتالية فيبوناتشي

بدأ ليوناردو بالتفكير بمجموعة من الأرانب وكيف سينمو تعدادها السكاني مع مرور الوقت. المشكلة أنه لم يكن أحيائيا, لذلك كانت فكرته تحول حول تكاثر الأرانب فرديا, أي أن الأرنب البالغ يلد صغيرا بغض النظر عن جنسه.

:شروط نمو التعداد السكاني للأرانب هي كالتالي

.١) لا يمكن للأرنب أن يلد إلا بعد أن يبلغ

.٢) يحتاج الأرنب شهرا واحدا لكي يلد صغيرا, ويحتاج الصغير شهرا واحدا ليبلغ

.٣) يعرف التعداد السكاني بمجموعة الأرانب البالغة فقط خلال كل شهر

ثم تبدأ المتتالية بأرنب بالغ واحد. بعد شهر, يكون هذا الأرنب قد ولد صغيرا, التعداد لا يزال واحد.  بعد شهر آخر, ولد البالغ صغيرا, وبلغ الصغير المولود قبل شهر, أصبح تعدادنا ٢. ونستمر بتنفيذ هذه الشروط إلى ما لا نهاية.

التعريف الرياضي للمتتالية هو كالتالي.  a_{n}^{} هو العدد التالي ويعرف بأنه مجموع العددين السابقين.

 يعرف العددي الأولين من المتتالية بـ  a_{0}^{}= 1 & a_{1}^{}=1

والعدد التالي  a_{n}^{}= a_{n-1}^{}+ a_{n-2}^{}

ولكن لسبب سأوضحه لاحقا, سنبدأ بصفر بدلا من واحد.

إذا أردت تفادي التعاريف الرياضية اقفز لقسم النغمات الموسيقية.

الحلقات

 الحلقات أو حلقات الأعداد الصحيحة تعرف رياضيا مع العملية الثنائية +, ولنسمي الحلقة بالحرف Z

+: Z \times Z \rightarrow Z وذلك يعني بأن مجموع أي عددين صحيحين يعطي عددا داخل الحلقة, فلنأخذ مثالا

Z_{5}_^{} هي حلقة بخمسة أعداد, وبذلك هي تحتوي على الأعداد ٠, ١, ٢, ٣, ٤ فقط. الجمع في هذه الحلقة يكون كالتالي

أولا, في حال كان المجموع عددا داخل الحلقة فلا مشكلة, هو الجمع المعتاد.

ثانيا, في حال كان المجموع أكبر من أعداد الحلقة, نأخذ باقي قسمة المجموع على ٥. مثال

2+3 = 5 = 0 & 4+3=7=2

ثالثا, في حال حاولنا الطرح, فنحن فقط نعود أدراجنا من خلال الحلقة بقيمة العدد السالب. مثال,

2 - 3 = -1 =4& 1-4=-3=2

فكروا بها هكذا, لدينا دائرة وعلى هذه الدائرة نقاط بعدد الأعداد في الحلقة, ٥ في مثالنا وبإضافة واحد نحن نذهب للنقطة التالية باتجاه عقارب الساعة, وفي حالة طرح واحد فنحن نذهب في الاتجاه المعاكس وهكذا.

المعجم في علوم الحاسب

المعجم هو مجموعة المعرفات وقيمها, مثل معجم الكلمات, المعرف هو الكلمة نفسها, وقيمتها هي معنى الكلمة.

d = {0: 0, 1: 1,  2: 1, 3: 2, 4: 3}

في المثال السابق  معجمنا يحتوي على خمسة عناصر المعرفات, على يسار علامة ‘:’ وقيمهاعلى يمينها.

عودة لأعداد الفيبوناتشي

من المثير للاهتمام بخصوص المتتالية هو في حال أخذ باقي القسمة على ٧ من كل أعدادها, تبدأ الأعداد بتكرار المعادلة بعد كل ١٦ عنصرا.

السطر الأول index هو معرف الرقم, والسطر الثاني هو ارقام الفيبوناتشي, والسطر الثالث هو باقي قسمة العدد على ٧.

index:   0  |   1  |   2  |   3  |   4  |   5  |   6  |   7  
fib  :     0|     1|     1|     2|     3|     5|     8|    13
fib%7:   0  |   1  |   1  |   2  |   3  |   5  |   1  |   6  

index:   8  |   9  |  10  |  11  |  12  |  13  |  14  |  15  
fib  :    21|    34|    55|    89|   144|   233|   377|   610
fib%7:   0  |   6  |   6  |   5  |   4  |   2  |   6  |   1  

index:  16  |  17  |  18  |  19  |  20  |  21  |  22  |  23  
fib  :   987|  1597|  2584|  4181|  6765| 10946| 17711| 28657
fib%7:   0  |   1  |   1  |   2  |   3  |   5  |   1  |   6  

index:  24  |  25  |  26  |  27  |  28  |  29  |  30  |  31  
fib  : 46368| 75025|121393|196418|317811|514229|832040|1346269
fib%7:   0  |   6  |   6  |   5  |   4  |   2  |   6  |   1

التكرار هنا يبدأ من العدد ٠ وليس ١, لذلك اخترت البداية برقم ٠ بدلا من العدد الأساسي ١.

هنا معجمنا يصبح

d = {0: 0, 1: 1, 2: 1, 3: 2, 4: 3, 5: 5, 6: 1, 7: 6, 8: 0, 9: 6, 10: 6, 11: 5, 12: 4, 13: 2, 14: 6, 15: 1}

ومعرفات الأعداد هي حلقة Z16 

النغمات الموسيقية

يوجد في السلم الغربي سبع نغمات, وهو بالضبط السبب الذي دفعني لاختيار باقي القسمة على ٧ لأعداد الفيبوناتشي.

A, B, C, D, E, F, G

هذا هو الكود الكامل الذي ينتج الأعداد, باقي قسمة الأعداد على ٧, وتحويلها إلى نغمة.

import math as m

fibs = [0, 1]

for i in range(2, 128):
fibs += [fibs[i-1] + fibs[i-2]]

scale = {0: 'A', 1: 'B', 2: 'C', 3: 'D', 4: 'E', 5: 'F', 6: 'G'}

for j in range(0, 8):
print ' '.join('{} '.format(scale[fibs[i]%7]) for i in range(0+(16*j), 16*(j+1)))

A   B   B   C   D   F   B   G   A   G   G   F   E   C   G   B  
A   B   B   C   D   F   B   G   A   G   G   F   E   C   G   B  
A   B   B   C   D   F   B   G   A   G   G   F   E   C   G   B  
A   B   B   C   D   F   B   G   A   G   G   F   E   C   G   B  
A   B   B   C   D   F   B   G   A   G   G   F   E   C   G   B  
A   B   B   C   D   F   B   G   A   G   G   F   E   C   G   B  
A   B   B   C   D   F   B   G   A   G   G   F   E   C   G   B  
A   B   B   C   D   F   B   G   A   G   G   F   E   C   G   B

كل سطر من هذه السطور هي نغمات أنشئت من مجموعات مختلفة. هي ليست من نفس أرقام الفيبوناتشي, ولكن باقي قسمة الأعداد على ٧ تتكرر كل ١٦ عشر معرفا, لذلك تتكرر النغمات كل ١٦ معرفا.

وهذا عزفي للنغمة التي انتجتها على عودي 🙂

مصادر

Newman W. Powell

Journal of Music Theory
Vol. 23, No. 2 (Autumn, 1979) , pp. 227-273

Published by: Duke University Press on behalf of the Yale University Department of Music
Stable URL: http://www.jstor.org/stable/843726

Leave a Reply