(المسودة الثانية, مقال غير مراجع)

يقال, تملك القطط سبعة أرواح, أم أنها فقط ماهرة في تفادي الخطر؟ قد لا يخطرعلى بالكم أن سؤالا كهذا جوابه رياضي, هو متعلق بنظرية المجموعات رياضيا, الفيزياء الكلاسيكية والأحياء. هنا أغطي الجانب الرياضي من خلال نظرية المجموعات والفيزيائي من خلال الدوران.

Landing Cat

قامت القوات الجوية الأمريكية ببعض الأبحاث على القطط في الخمسينات بتصوير سقوطها على الأرض في وجود الجاذبية وفي انعدامها. من خلال التجربتين, اتضح أنها تنزل على أرجلها بشكل صحيح في وجود الجاذبية فقط. لا يبدو واضحا ان كان دور الجاذبية له علاقة بمهارة الدوران في الجو عند القطط أم لا. ولكن ما هي هذه المهارة؟

كان الظن في السابق يدور حول أن ذيل القطط هو ما تعتمد عليه للدوران حول محورها. حيث أنها من خلال تدوير ذيلها, هي تضيف لعزم دورانها فتدور. هناك مشكلتين فيزيائيتين في هذا الظن. أولا كتلة الذيل مقابل الجسم ضئيلة جدا ولذلك ستحتاج القطة لسرعة دوران أكبر بكثير مما تستطيع. ستحتاج القطة لسرعة دوران قريبة من سرعة الصوت لتضيف عزما كافيا لتدوير جسدها كاملا. وبالنظر فقط للصورة أعلاه, نلاحظ بأن القطة لم تدر ذيلها كثيرا أصلا. ثانيا, لنفترض أنها أضافت لعزم دورانها بشكل كافٍ لدورانها حول محورها. كيف ستوقف دورانها في الوقت المحدد؟هي حلول غير ممكنة بالنسبة للقطة. لكنها رغم ذلك تدور حول نفسها. فكيف إذا؟

تعتمد القطط على القيام بثلاث عمليات متتالية بترتيب محدد لتحصل على مرادها دون الاعتماد على عزم الدوران بشكل أساسي. فلنقل بأن \pi(لا أقصد بها 3.14…)  ترمز لعملية ضم الجسد حول مركز الكتلة. عكس العملية, باعادة بسط الجسد, ستكون العملية \pi^{-1}. بحيث أن القيام بالعمليتين بالتتالي يساوي عدم القيام بأي منها \pi\pi^{-1}=1. والدوران حول العمود الفقري \tau. في المجوعات غير الآبلية, يجب أن تتالى العمليتين المنتميتين للمجموعة لكي تلغي بعضها. حين نقوم بعملية ما بينهما، تمنع هذه العملية الأخرى الغاء العمليتين المتعاكستين. أي أن الترتيب هنا ضروري.

لنجعل G مجموعة تصحيح الاتجاه. بعمليتين \pi  و \tau. كما عرفناها سابقا, العملية \pi هي عملية ضم الجسد. العملية \tau هي عملية الالتفاف حول العمود الفقري لجهة ما، لنقل اعتباطا, اليمين. \tau^{-1} هي نفس العملية ولكن بعكس الاتجاه. بكل وضوح، عند ضم الجسد ثم بسطه نعود لنقطة الصفر, \pi\pi^{-1}. وبنفس المنطق عندما نلتف يمينا ثم يسارا بنفس القدر، نعود أيضا لنقطة الصفر, \tau\tau^{-1}. ماذا سيحصل إذا لو قمنا ببعض العمليات بتتاليات مختلفه؟ سيعتمد ذلك على كون المجموعة آبلية أم لا (أنظر تعريف المجموعة الآبلية في التعاريف بالأسفل).

لنأخذ مثالا. لو ارادت قطة ما ضم جسدها ثم بسطه ثم الالتفاف جهة الارض, العملية \pi\pi^{-1}\tau . بحسب تعريفنا السابق وبحسب تعريف العملية المعاكسة، العمليتين الأولتين تلغيان بعضهما البعض

(\pi\pi^{-1})\tau=\tau

سنحصل بعد ذلك على عملية واحدة فقط مساوية لتتالي العمليات الثلاث السابقة. هذا المثال غير فيزيائي لسبب سأشرحه لاحقا.

لنأخذ مثالا آخر. فلنقل بأن القطة ستضم جسدها ثم تلتف جهة الأرض ثم ستبسط نفسها, العملية \pi\tau\pi^{-1}. لو كانت المجموعة آبلية لحصلنا على نفس نتيجة المثال السابق. لنفترض بأن المجموعة آبلية. إذا القيام بالعمليات السابقة يساوي أيضا ضم الجسد ثم بسطه ثم الالتفاف نحو الارض

\pi\tau\pi^{-1}=\pi(\pi^{-1}\tau)=(\pi\pi^{-1})\tau=\tau

وبحسب العمليات المعاكسة، القيام بعملية ثم عكسها يساوي عدم القيام بأي منها. وبذلك نحصل على عملية الالتفاف نحو الأرض فقط، وهي غير فيزيائية كما ذكرت. لذلك يجب أن تكون المجموعة غير آبلية.

إذا كانت المجموعة غير آبلية، فإن الحل الفيزيائي حينها ممكن. فلنفترض بأن المجموعة غير آبلية. فلنقل مجددا بأن القطة ستضم جسدها ثم تلتف جهة الأرض ثم ستبسط نفسها, العملية\pi\tau\pi^{-1}. لأن المجموعة غير آبلية، التتالي السابق لا يساوي سوى نفسه،

\pi\tau\pi^{-1}\neq \pi(\pi^{-1}\tau)

لأن الترتيب أصبح ضروريا. هذا التتالي لا يتناقض مع قوانين الفيزياء.

في الرياضيات، كل شيء ممكن كما رأينا. حرارة ترتفع الى ما لا نهاية دون مصدر طاقة، أو غشاء يهوي الى الأسفل دون قوة تسحبه! كيف نثبت أن حلنا الرياضي لا يتناقض مع قوانين كوننا الفيزيائية؟ فلننظر إلى قوة الدوران المؤثرة على القطة وسرعة دورانها الابتدائية.

إذا كانت القوة الدورانية تساوي صفرا فإن سرعة دورانها حول محورها لن تتغير طول رحلة سقوطها. بحسب قانون نيوتن الأول, تتحرك الأجسام بسرعة ثابتة ما لم تؤثر عليها قوة خارجية. فلنفترض بأن قوة الدوران تساوي صفرا. لا شيء يؤثر على سرعة دورانها. سرعة الدوران الابتدائية ثابتة طول الرحلة.

الم تدر القطة حول عمودها الفقري؟ هل هذا يناقض النظرية السابقة؟ لا. يعود السبب إلى أنها تضم جسدها فيصبح مركز كتلتها خارج جسدها، ولن تدور حوله أبدا. ما ستدور حوله بدوران معاكس الاتجاه بين الجهتين هو عمودها الفقري المعوج. انظر الصورة في الأسفل للتوضيح.

kane

وباتباع عمليات مجموعة تصحيح الاتجاه يمكن لاي شيء أن يغير اتجاهه دون الحاجة لقوة تدفعه لذلك. أشك بأن جسد الانسان قادر على الضم بهذا الشكل.

التعاريف

\pi, مجرد رمز لعملية ولا يعني بالضرورة الثابت الشهير 3.14…

\tau, مجرد رمز لعملية ولا يعني بالضرورة الثابت الرياضي 2\pi.

المجموعات الآبلية, هي المجموعات التي لا يهم فيها ترتيب العمليات. أي, \pi\tau=\tau\pi.

المصادر

AIRBOYD (2011).Weightless Cats – I Can Has Gravity?. Retrieved from https://www.youtube.com/watch?v=O9XtK6R1QAk

Kane, T. R., & Scher, M. P. (1969). A Dynamical Explanation Of The Falling

Cat Phenomenon. Intr. J. Solids Structures, Vol. 5.

Silbiger, C. J. (2014). Do cats always land on their feet?. Science in Our World: Certainty and Cont. Retrieved from http://sites.psu.edu/siowfa14/2014/09/19/do-cats-always-land-on-their-feet-2/

Leave a Reply